Question

甲、乙兩地相距S（千米），汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度最大不得超過c（千米/小時）．已知汽車每小時的運(yùn)輸成本（元）由可變部分與固定部分組成．可變部分與速度v（千米/小時）的平方成正比，且比例系數(shù)為正常數(shù)b；固定部分為a元．
（1）試將全程運(yùn)輸成本Y（元）表示成速度V（千米/小時）的函數(shù)．
（2）為使全程運(yùn)輸成本最省，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

分析：（1）確定汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間，從而可得全程運(yùn)輸成本關(guān)于速度的函數(shù)；
（2）利用基本不等式，再分類討論，即可求得最值．

解答：解：（1）依題意得，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為

s

v

，全程運(yùn)輸成本為y=a•

s

v

+bv²•

s

v

=s（

a

v

+bv），
故所求函數(shù)為y=s（

a

v

+bv），其定義域?yàn)関∈（0，c）
（2）∵s、a、b、v∈R⁺，∴s（

a

v

+bv）≥2s

ab

，當(dāng)且僅當(dāng)

a

v

=bv時取等號，此時v=

a b

若

a b

≤c，即v=

a b

時，全程運(yùn)輸成本最�。�
若

a b

＞c，則當(dāng)v∈（0，c）時，y=s（

a

v

+bv）-s（

a

c

+bc）=

s

vc

（c-v）（a-bcv）
∵c-v≥0，且a＞bc²，故有a-bcv≥a-bc²＞0
∴s（

a

v

+bv）≥s（

a

c

+bc），當(dāng)且僅當(dāng)v=c時取等號，即v=c時全程運(yùn)輸成本最�。�

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．