Question

【題目】如圖，已知等邊中， ， 分別為， 邊的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)， 為邊上一點(diǎn)，且，將沿折到的位置，使平面平面.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）

【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)已知條件可證出，再由面面垂直的性質(zhì)定理并結(jié)合平面平面可得出平面，然后再由和可證得，再在正中易證得平面，最后由面面垂直的判定定理即可得出所證的結(jié)論；（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，并正確寫出各點(diǎn)的空間坐標(biāo)，然后由法向量的定義分別求出平面和平面的法向量，最后由公式即可計(jì)算出所求的角的大小.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>， 為等邊的， 邊的中點(diǎn)，

所以是等邊三角形，且.因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以.

又由于平面平面， 平面，所以平面.

又平面，所以.因?yàn)?/span>，所以，所以.

在正中知，所以.而，所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（Ⅱ）設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為4，取中點(diǎn)，連接，由題設(shè)知，由（Ⅰ）知平面，又平面，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， .

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

由得令，則.

平面的一個(gè)法向量為，所以，

顯然二面角是銳角.所以二面角的余弦值為.