Question

【題目】已知f（x）為一次函數，g（x）為二次函數，且f[g（x）]=g[f（x）]．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若y=g（x）與x軸及y=f（x）都相切，且g（0）= ，求g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（Ⅰ）設出f（x），g（x）的解析式，利用待定系數法求解．

（Ⅱ）根據y=g（x）與x軸及y=f（x）都相切，g（0）=，建立關系，利用判別式求解．

由題意，設f（x）=kx+m，g（x）=ax2+bx+c（a≠0）

∵f[g（x）]=g[f（x）]．

∴k（ax2+bx+c）+m=a（kx+m）2+b（kx+m）+c，

解得：k=1，m=0

∴f（x）的解析式為f（x）=x

（Ⅱ）∵g（0）=，

∴c=

得g（x）=ax2+bx+

又∵y=g（x）與x軸，相切，

可得：4ac=b2，即…①

又∵y=g（x）與f（x）=x相切，

可得：ax2+bx+=x，即方程ax2+x（b﹣1）+=0只有一個解．

∴…②

由①②解得：b=，a=1

故得g（x）的解析式為g（x）=x2+x+．