Question

如圖2-4-12，P為⊙O的直徑CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，A為⊙O上一點(diǎn)，若=，AE交BC于D，且∠C=∠PAD.

圖2-4-12

(1)求證：PA為⊙O的切線；

(2)若∠BEA=30°，BD=1，求AP及PB長(zhǎng).

Answer 1

思路分析:對(duì)于（1），A已經(jīng)是圓上一點(diǎn)，所以可以連結(jié)OA，證明PA與OA垂直；對(duì)于（2），將∠E利用圓周角定理轉(zhuǎn)移到Rt△ODA和Rt△OAP中，解直角三角形即可得到線段AP及PB的長(zhǎng).

（1）證明:連結(jié)AO，∵=，BC為直徑，∴AE⊥BC，AD=DE，=.

∵OA=OC，∴∠C=∠3.∴∠1=2∠C.

又∵∠C=∠PAD，∴∠1=∠2.

∵∠1＋∠4=90°，∴∠2＋∠4=90°.

∴PA⊥OA.

∴PA為⊙O的切線.

（2）解:在Rt△EBD中，∵∠BEA=30°，BD=1,∴BE=2，DE=.

在Rt△ODA和Rt△EBD中,∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E=30°=∠E，∠ODA=∠BDE，AD=ED，

∴Rt△ODA≌Rt△EBD.

∴AD=DE=，OD=BD=1，OA=BE=2.

在Rt△OAP中，∵AD⊥OP，

∴AD²=OD·DP，即()²=1·DP.

∴DP=3.∴BP=2.

在Rt△ADP中，根據(jù)勾股定理，得AP=.