Question

如圖2-4-12,P為⊙O的直徑CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),A為⊙O上一點(diǎn),若=,AE交BC于D,且∠C =∠PAD.

圖2-4-12

(1)求證:PA為⊙O的切線;

(2)若∠BEA =30°,BD ＝1,求AP及PB的長(zhǎng).

Answer 1

思路分析:對(duì)于（1）,A已經(jīng)是圓上一點(diǎn),所以可以連結(jié)OA,證明PA與OA垂直;對(duì)于（2）,將∠E利用圓周角定理轉(zhuǎn)移到Rt△ODA和Rt△OAP中,解直角三角形即可得到線段AP及PB的長(zhǎng).

（1）證明:連結(jié)AO,∵=,BC為直徑,∴AE⊥BC,AD =DE,  =.

∵OA =OB,∴∠C =∠3.?

∴∠1=2∠C.?

又∵∠C =∠PAD,∴∠1=∠2.?

∵∠1+∠4=90°,?

∴∠2+∠4=90°.?

∴PA⊥OA.?

∴PA為⊙O的切線.

（2）解:在Rt△EBD中,∵∠BEA =30°,BD＝1,∴BE =2,DE =.?

在Rt△ODA和Rt△EBD中,∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E =30°=∠E,∠ODA =∠BDE,?AD =ED,?

∴Rt△ODA≌Rt△EBD.?

∴AD =DE =,OD =BD =1,OA =BE =2.?

在Rt△OAP中,∵AD⊥OP,?

∴AD²=OD·DP,即=1·DP.?

∴DP =3.?

∴BP =2.?

在Rt△ADP中,根據(jù)勾股定理,得 ==.