Question

已知函數(shù)f（x）、g（x）對任意實數(shù)x、y都滿足條件①f（x+1）=3f（x），且f(0)=

1

3

，②g（x+y）=g（x）+2y，且g（6）=15，（n為正整數(shù)）
（Ⅰ）求數(shù)列{f（n）}、{g（n）}的通項公式；
（II）設(shè)a_n=g[f（n）]，求數(shù)列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將函數(shù)f（x）中的x=n便可知道數(shù)列{f（n）}為等比數(shù)列將g（x+y）中的x=n/y=1即可知道數(shù)列{g（n）}為等差數(shù)列，根據(jù)題中已知條件便可求出數(shù)列{f（n）}和{g（n）}的通項公式；
（II）由（I）中求得的數(shù)列{f（n）}和{g（n）}的通項公式便可求出an的通項公式，然后即可求出數(shù)列{a_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由條件①中f（x+1）=3f（x），得

f(n+1)

f(n)

=3為常數(shù)，
可知{f（n）}是以3為公比的等比數(shù)列，
又∵f（1）=f（1+0）=3f（0）=1，
∴f（n）=1×3^n-1=3^n-1
在條件②中，令x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2，
可知{g（n）}是以2為公差的等差數(shù)列，
∴g（n）=g（6）+（n-6）•2=2n+3，
即g（n）=2n+3
（II）由（Ⅰ）得a_n=g[f（n）]=2f（n）+3=2×3^n-1+3，
∴T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

2(1-3n)

1-3

+3n
=3ⁿ+3n-1．

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本公式以及數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力和對知識的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．