Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，其中AD∥BC，O為AD中點(diǎn)，PO⊥底面ABCD．又．
（I）求直線(xiàn)PA和CD所成角的余弦值；
（II）求B-PA-D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）取BC中點(diǎn)E，連接AE，OE，則∠PAE（或其補(bǔ)角）即為直線(xiàn)PA和CD所成角，利用余弦定理可求；
（II）設(shè)B-PA-D的平面角為α，利用cosα=可求．
解答：解：（I）取BC中點(diǎn)E，連接AE，OE，則
∵AD=4，BC=8，
∴AE∥DC
∴∠PAE（或其補(bǔ)角）即為直線(xiàn)PA和CD所成角
∵PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥AO，PO⊥OE
∵底面ABCD為等腰梯形，
∴OE=2，AE=，PE=
∵PO=4，AO=2
∴PA=
∴cos∠PAE===；
（II）設(shè)B-PA-D的平面角為α，則
∵底面ABCD為等腰梯形，AD=4，BC=8，∴∠ABC=45°，∴∠BAD=135°，
在△BAO中，，∴BO==
∴PB==6
在△PAB中，PB=6，PA=，AB=，∴cos∠PAB==-
∴sin∠PAB=
∴=6
∵=8
∴cosα===．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．本題解答中用到了投影面法求二面角，注意總結(jié)其原理且能使用