Question

設(shè)函數(shù)f(x)=log

1

2

x，給出下列四個命題：
①函數(shù)f（|x|）為偶函數(shù)；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，則ab=1；
③函數(shù)f（-x²+2x）在（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)；
④若0＜a＜1，則|f（1+a）|＜|f（1-a）|；
則正確命題的序號是______．

Answer 1

∵f(x)=log

1

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x
∴①函數(shù)f（|x|）為偶函數(shù)，此命題正確，因?yàn)?span mathtag="math" >f(-x)=log

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2

|-x|=log

1

2

|x|=f(x)此函數(shù)是一個偶函數(shù)，命題是正確命題；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，則ab=1，此命題是正確命題，因?yàn)閨f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，故有f（a）+f（b）=0，即log

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a+log

1

2

b=0，故有ab=1；
③函數(shù)f（-x²+2x）的定義域是（0，2），故復(fù)合函數(shù)f（-x²+2x）在（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)錯；
④若0＜a＜1，則|f（1+a）|＜|f（1-a）|，此命題，因?yàn)橛深}意f（1+a）＜0，f（1-a）＞0，若有|f（1+a）|＜|f（1-a）|成立，則f（1+a）+f（1-a）＞0，即f（1-a²）＞0，即1-a²∈（0，1）顯然成立；
綜上①②④都是正確命題
故答案為①②④