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        1. 給定雙曲線x2-
          y22
          =1

          (1)過(guò)點(diǎn)A(2,1)的直線L與所給的雙曲線交于兩點(diǎn)P1及P2,求線段P1P2的中點(diǎn)P的軌跡方程.
          (2)過(guò)點(diǎn)B(1,1)能否作直線m,使m與所給雙曲線交于兩點(diǎn)Q1及Q2,且點(diǎn)B是線段Q1Q2的中點(diǎn)?這樣的直線m如果存在,求出它的方程;如果不存在,說(shuō)明理由.
          分析:(1)設(shè)直線L的方程代入雙曲線方程,設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(
          .
          x
          .
          y
          )
          ,根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2的表達(dá)式,表示出x,把x代入直線方程求得y的表達(dá)式,再由
          .
          x
          ,
          .
          y
          的表達(dá)式相除后消去k而得所求軌跡的普通方程即是所求的軌跡方程.
          (2)設(shè)所求直線方程為y=k(x-1)+1,代入雙曲線方程,設(shè)Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)根據(jù)韋達(dá)定理表示出x1+x2求得k,代入判別式結(jié)果小于0,進(jìn)而斷定滿足題設(shè)中條件的直線不存在.
          解答:解:設(shè)直線L的方程為y=k(x-2)+1,(1)
          將(1)式代入雙曲線方程,得:(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0,(2)
          又設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(
          .
          x
          .
          y
          )
          ,
          則x1,x2必須是(2)的兩個(gè)實(shí)根,所以有x1+x2=
          4k2-2k
          k2-2
          (k2-2≠0)

          按題意,
          .
          x
          =
          1
          2
          (x1+x2)
          ,∴
          .
          x
          =
          2k2-k
          k2-2

          因?yàn)?span id="xf0uyby" class="MathJye">(
          .
          x
          .
          y
          )在直線(1)上,所以
          .
          y
          =k(
          .
          x
          -2)+1=k(
          2k2-k
          k2-2
          -2)+1=
          2(2k-1)
          k2-2

          再由
          .
          x
          ,
          .
          y
          的表達(dá)式相除后消去k而得所求軌跡的普通方程為
          8(
          .
          x
          -1)
          2
          7
          -
          4(
          .
          y
          -
          1
          2
          )
          2
          7
          =1
          ,這就是所求的軌跡方程.

          (2)設(shè)所求直線方程為y=k(x-1)+1,代入雙曲線方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,(3)
          設(shè)Q1(
          .
          x
          1
          .
          y
          1
          ),Q2(
          .
          x
          2
          .
          y
          2
          ),則
          .
          x
          1
          ,
          .
          x
          2
          必須是(3)的兩個(gè)實(shí)根,
          .
          x
          1
          +
          .
          x
          2
          =
          2k2-2k
          k2-2.
          如果B是Q1Q2的中點(diǎn),
          就有
          1
          2
          (x1+x2)=1,
          .
          x
          1
          +
          .
          x
          2
          =2
          ,所以有
          2k2-2k
          k2-2
          =2

          綜合起來(lái),k應(yīng)滿足(I)
          (2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)≥0
          2k2-2k
          k2-2
          =2

          由第二式解出k=2,但k=2不滿足第一式,所以(I)無(wú)解.
          故滿足題設(shè)中條件的直線不存在.
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用.解題的結(jié)果一定注意放到判別式中進(jìn)行驗(yàn)證.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知A(-1,0),B(1,0),設(shè)M(x,y)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),直線AM,BM的斜率分別為k1,k2,
          ①若
          k1
          k2
          =2
          ,則M點(diǎn)的軌跡為直線x=-3(除去點(diǎn)(-3,0))
          ②若k1•k2=-2,則M點(diǎn)的軌跡為橢圓x2+
          y2
          2
          =1
          (除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn))
          ③若k1•k2=2,則M點(diǎn)的軌跡為雙曲線x2-
          y2
          2
          =1

          ④若k1+k2=2,則M點(diǎn)的軌跡方程為:y=x-
          1
          x
          (x≠±1)
          ⑤若k1-k2=2,則M點(diǎn)的軌跡方程為:y=-x2+1(x≠±1)
          上述五個(gè)命題中,正確的有
          ①④⑤
          ①④⑤
          (把所有正確命題的序號(hào)都填上).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          雙曲線x2-
          y2
          2
          =1
          的漸近線與圓x2+(y-3)2=r2(r>0)相切,則r=
          3
          3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          給定雙曲線x2-
          y22
          =1
          ,過(guò)點(diǎn)B(1,1)能否作直線l,使直線l與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn),且點(diǎn)B是線段PQ的中點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          給定雙曲線x2-
          y22
          =1
          ,過(guò)A(1,1)能否作直線m,使m與所給雙曲線交于B、C兩點(diǎn),且A為線段BC中點(diǎn)?這樣的直線若存在,求出它的方程;如果不存在,說(shuō)明理由.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案