Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）滿足0＜f（1-2x）-f（x）＜1．
（1）求x的取值范圍；
（2）若g（x）是偶函數(shù)且滿足g（x+2）=g（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，有g(shù)（x）=f（x），求g（x） 在x∈[1，2]上的解析式．

Answer 1

分析：（1）先求出f（1-2x）的解析式，可得不等式即0＜ln

2-2x

1+x

＜1，故有

x+1＞0 2-2x＞0 e＞ 2-2x 1+x ＞1

，解此不等式組求得x的范圍
（2）由題意可得，函數(shù)g（x）是周期等于2的偶函數(shù)，先求得當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，有g(shù)（x）的解析式，再根據(jù)周期性求得g（x） 在x∈[1，2]上的解析．

解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）=ln（x+1），故f（1-2x）=ln（2-2x），
故f（1-2x）-f（x）=ln

2-2x

1+x

，∴0＜ln

2-2x

1+x

＜1，
∴

x+1＞0 2-2x＞0 e＞ 2-2x 1+x ＞1

，即

-1＜x＜1 2-2x 1+x ＞1 2-2x 1+x ＜e

，即

-1＜x＜1 3x-1 1+x ＜0 (2+e)x-(2-e) x+1 ＞0

，解得-1＜x＜

2-e

2+e

，
故x的取值范圍為（-1，

2-e

2+e

）．
（2）若g（x）是偶函數(shù)且滿足g（x+2）=g（x），故函數(shù)g（x）是周期等于2的函數(shù)．
∵當(dāng)0≤x≤1時(shí)，有g(shù)（x）=f（x），當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，有g(shù)（x）=f（-x）=ln（1-x），
故g（x） 在x∈[1，2]上的解析為 ln（1-x+2）=ln（3-x）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和周期性求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．