Question

某小區(qū)想利用一矩形空地ABCD建市民健身廣場，設(shè)計(jì)時(shí)決定保留空地邊上的一水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，經(jīng)測量得到AE=10m，EF=20m．為保證安全同時(shí)考慮美觀，健身廣場周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個保護(hù)欄．設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過點(diǎn)G作一直線交AB，DF于M，N，從而得到五邊形MBCDN的市民健身廣場，設(shè)DN=x（m）
（1）將五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù)；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，市民健身廣場的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）作GH⊥EF，垂足為H，過M作MT∥BC交CD于T，求出AM=

600-10x

40-x

，可得S_MBCDW=S_MBCT+S_MTDN=(40-AM)×60+

1

2

(x+60)×AM，從而可得五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù)；
（2）將函數(shù)變形，利用基本不等式，可求市民健身廣場的面積最大值．

解答： 解：（1）作GH⊥EF，垂足為H，
因?yàn)镈N=x，所以NH=40-x，NA=60-x，
因?yàn)?span id="sajc0dr" class="MathJye">

NH

HG

=

NA

AM

，
所以

40-x

10

=

60-x

AM

，所以AM=

600-10x

40-x

…（2分）
過M作MT∥BC交CD于T，
則S_MBCDW=S_MBCT+S_MTDN=(40-AM)×60+

1

2

(x+60)×AM，
所以y=(40-

600-10x

40-x

)×60+

1

2

×

(x+60)(600-10x)

40-x

=2400-

5(60-x)2

40-x

…（7分）
由于N與F重合時(shí)，AM=AF=30適合條件，故x∈（0，30]，…（8分）
（2）y=2400-

5(60-x)2

40-x

=2400-5[(40-x)+

400

40-x

+40]，…（10分）
所以當(dāng)且僅當(dāng)40-x=

400

40-x

，即x=20∈（0，30]時(shí)，y取得最大值2000，…（13分）
所以當(dāng)DN=20m時(shí)，得到的市民健身廣場面積最大，最大面積為2000m²．…（14分）

點(diǎn)評：基本不等式應(yīng)注意其使用條件：一正二定三相等．