Question

如圖，四棱錐P-A BCD中，底面ABCD為菱形，BD⊥面PAC，A C=10，PA=6，cos∠PCA=

4

5

，M是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明PC⊥平面BMD；
（Ⅱ）若三棱錐M-BCD的體積為14，求菱形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明PC⊥BD，再在△PAC中利用余弦定理求出PC的長(zhǎng)，從而證出PA∥MO，進(jìn)一步得PC⊥MO，最后根據(jù)線面垂直的判定定理可得PC⊥平面BMD；
（II）由題意知，將三棱錐M-BCD的體積轉(zhuǎn)換成三棱錐C-BMD的體積，再利用棱錐的體積公式列出等式求出菱形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)，從而得出菱形ABCD的邊長(zhǎng)．

解答：解：（I）∵BD⊥面PAC，PC?面PAC，
∴PC⊥BD，
△PAC中，AC=10，PA=6，cos∠PCA=

4

5

，
∴PA²=PC²+AC²-2PC•ACcos∠PCA，
∴PC=8，
連結(jié)MO，∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，
∴PA∥MO，∴PC⊥MO，又∵BD∩MO=O，
∴PC⊥平面BMD；
（II）由題意知：三棱錐M-BCD的體積為14，
即V_M-BCD=V_C-MBD=

1

3

S_△MBD×CM=

1

6

BD•MO•CM=14，
∵CM=

1

2

PC=4，MO=

1

2

PA=3，
∴BD=7，
∴菱形ABCD的邊長(zhǎng)AB=

AO2+OB2

=

149

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面垂直的方法，直線與平面垂直的判定、性質(zhì)的應(yīng)用，棱錐的體積等，考查空間想象能力，屬于中檔題．