Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC．PA=AB=BC，點E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求證：PD∥平面EAC；
（2）求二面角A-EC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明：根據(jù)題意建立空間坐標系，不妨設PA=PB=PC=3，即可得到有關(guān)點的坐標，設D（3，y，0），寫出向量的坐標利用

CP

•

AD

=-9-3y=0，可得y=-3，所以DC=2AB，連接BD，交AC于點M，則

DM

MB

=

DC

AB

=2，進而得到

PE

EB

=

DM

MB

=2，根據(jù)線面平行的判定定理可得線面平行．
（2）分別求出兩個平面的法向量，再利用向量間的有關(guān)運算求出兩個向量的夾角，進而轉(zhuǎn)化為兩個平面的二面角．

解答：解：（1）證明：以A為原點，AB，AP所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標系．
不妨設PA=PB=PC=3，則A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）．
設D（3，y，0），則

CP

=(-3，-3，3)，

AD

=(3，y，0)，
因為CP⊥AD，
所以

CP

•

AD

=-9-3y=0，解得：y=-3．
所以DC=2AB．---（3分）
連接BD，交AC于點M，則

DM

MB

=

DC

AB

=2．
在△BPD中，

PE

EB

=

DM

MB

=2，∴PD∥EM．-（5分）
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．----（6分）
（2）設

n1

=(x，y，z)為平面EAC的一個法向量，則

n1

⊥

AC

，

n1

⊥

AE

，
所以

3x+3y=0 2y+z=0

取z=2可得

n1

=(1，-1，2)．
設

n2

=(u，v，w)為平面EBC的一個法向量，則

n2

⊥

BC

，

n2

⊥

BE

，
又

BC

=(3，0，0)，

BE

=(0，-1，1)，∴

u=0 -v+w=0

∴可取

n2

=(0，1，1)．  （10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞ = 

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

6

---（11分）
依題意得：二面角A-CE-B的余弦值為-

3

6

．------（12分）

點評：夾角成立問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便得到線面之間的關(guān)系進而建立空間坐標系利用空間向量夾角空間角問題．