Question

（2013•東坡區(qū)一模）我校開設(shè)甲、乙、丙三門選修課，學(xué)生是否選修哪門課互不影響，已知某學(xué)生選修甲而不選修乙和丙的概率為0.08，選修甲和乙而不選修丙的概率為0.12，至少選修一門的概率為0.88，用ξ表示該學(xué)生選修課程門數(shù)和沒選修門數(shù)的乘積．
（1）記“ξ=0”為事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）設(shè)該生選修甲，乙，丙課程的概率依次為P₁，P₂，P₃，則由題意知

p1(1-p2)(1-p3)=0.08 p1p2(1-p3)=0.12 1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=0.88

，由此能求出事件A的概率．
（2）ξ=2的意義為選一門或選兩門．由事件的互斥性和獨(dú)立性能求出P（ξ=2）=0.76，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）設(shè)該生選修甲，乙，丙課程的概率依次為P₁，P₂，P₃，
則由題意知

p1(1-p2)(1-p3)=0.08 p1p2(1-p3)=0.12 1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=0.88

，
解得p₁=0.4，p₂=0.6，p₃=0.5，…（4分）
由題意可設(shè)ξ可能取的值為0，2，
ξ=0的意義為選三門或一門都不選．
因此P（ξ=0）=0.4×0.6×0.5+（1-0.4）（1-0.6）（1-0.5）=0.24．
故事件A的概率為0.24．…（6分）
（2）ξ=2的意義為選一門或選兩門．
由事件的互斥性和獨(dú)立性可知
P（ξ=2）=0.4×0.4×0.5+0.6×0.6×0.5+0.6×0.4×0.5+0.4×0.6×0.5+0.4×0.4×0.5+0.6×0.6×0.5=0.76．…（9分）
結(jié)合（1）（2）可知隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	0	2
P	0.24	0.76

…（11分）
由此可得，所求數(shù)學(xué)期望為：Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．