Question

已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點O，對稱軸為坐標(biāo)軸，點（-2，0）是它的一個焦點，并且離心率為．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知點M（0，1），設(shè)P（x，y）是雙曲線C上的點，Q是點P關(guān)于原點的對稱點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0），依據(jù)題意，求出a、c、b的值，最后寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程．
（Ⅱ）依題意有：Q（-x，-y），根據(jù)向量的坐標(biāo)運算寫出，從而=-x²-y²+1再結(jié)合雙曲線的范圍得出x²≥3，從而求得的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0），半焦距c，
依題意得 解得a=，b=1，
∴所求雙曲線C的方程為．
（Ⅱ）依題意有：Q（-x，-y），∴，

∴=-x²-y²+1
，又，=，由可得，x²≥3，
=≤-2故的取值范圍x≤-2．
點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用．解答的關(guān)鍵是對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和向量運算的應(yīng)用．