Question

已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)（-2，0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，并且離心率為

2 3

3

．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M（0，1），設(shè)P（x₀，y₀）是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求

MP

•

MQ

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)雙曲線方程為

x2

a 2

-

y2

b 2

=1（a＞0，b＞0），依據(jù)題意，求出a、c、b的值，最后寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程．
（Ⅱ）依題意有：Q（-x₀，-y₀），根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算寫出

MP

=(x0，y0-1)，

MQ

=(-x0，-y0-1)從而

MP

•

MQ

=-x₀²-y₀²+1再結(jié)合雙曲線的范圍得出x₀²≥3，從而求得

MP

•

MQ

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為

x2

a 2

-

y2

b 2

=1（a＞0，b＞0），半焦距c，
依題意得　　

c a = 2 3 3 c=2

解得a=

3

，b=1，
∴所求雙曲線C的方程為

x2

3

-y2=1．
（Ⅱ）依題意有：Q（-x₀，-y₀），∴

MP

=(x0，y0-1)，

MQ

=(-x0，-y0-1)
∴

MP

•

MQ

=-x₀²-y₀²+1
，又

x 02

3

-y 02=1，

MP

•

MQ

=-

4

3

x

2 0

+2，由

x 02

3

-y 02=1可得，x₀²≥3，

MP

•

MQ

=-

4

3

x

2 0

+2≤-2故

MP

•

MQ

的取值范圍x≤-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．解答的關(guān)鍵是對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和向量運(yùn)算的應(yīng)用．