Question

（2013•棗莊二模）一多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，它的正視圖為直角三角形，側視圖為矩形，俯視圖為直角梯形（尺寸如圖所示）直觀圖中的平面BEFC水平放置．
（1）求證：AE∥平面DCF；
（2）當AB=

9

2

時，求該多面體的體積．

Answer 1

分析：（1）證法1（線面平行的判定定理法）：過點E作EG⊥CF于G，連結DG，可證得四邊形ADGE為平行四邊形，進而AE∥DG，結合線面平行的判定定理得到答案．
（1）證法2：（面面平行的性質法）：由四邊形BEFC為梯形，可得BE∥CF，結合線面平行的判定定理可得BE∥平面DCF，同理由AB∥DC，可證AB∥平面DCF，由面面平行的判定定理得到平面ABE∥平面DCF，進而由面面平行的性質得到答案．
（2）由三視圖知AB⊥平面BEFC，AD⊥平面DCF，所以AB、AD分別為四棱錐A-BEFC和三棱錐A-DCF的高，代入棱錐體積公式可得答案．

解答：證明：（1）證法1（線面平行的判定定理法）：
過點E作EG⊥CF于G，連結DG
由題設條件可得四邊形BCGE為矩形，又ABCD為矩形，
所以AD∥EG，且AD=EG．
從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG…（4分）
又因為AE?平面DCF，DG?平面DCF，
所以AE∥平面DCF．…（6分）
證法2：（面面平行的性質法）
因為四邊形BEFC為梯形，所以BE∥CF．
又因為BE?平面DCF，CF?平面DCF，
所以BE∥平面DCF．…（2分）
因為四邊形ABCD為矩形，所以AB∥DC．同理可證AB∥平面DCF．
又因為BE和AB是平面ABE內(nèi)的兩相交直線，
所以平面ABE∥平面DCF．…（4分）
又因為AE?平面ABE，所以AE∥平面DCF…（6分）
（2）由三視圖知AB⊥平面BEFC，AD⊥平面DCF，所以AB、AD分別為四棱錐A-BEFC和三棱錐A-DCF的高．…（7分）
在Rt△EGF中，因為EG=BC=

3

，EF=2，
所以∠GFE=60°，且GF=1
又因為∠CEF=90°
故CF=

EF

cos∠CFE

=

2

cos60°

=4
從而BE=CG=3．…（9分）
多面體的體積V=V四棱錐_A-BEFC+V_{三棱錐A-DCF}=

1

3

×[

1

2

×(3+4)×

3

]×

9

2

+

1

3

×(

1

2

×4×

9

2

)×

3

=

33 3

4

．（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，由三視圖還原實物圖，棱錐的體積，其中（1）的關鍵是熟練掌握線面平行證明的方法和步驟，（2）的關鍵是分析出AB、AD分別為四棱錐A-BEFC和三棱錐A-DCF的高，將復雜幾何體體積的運算轉化為棱錐體積運算．