Question

【題目】對(duì)哪些正整數(shù)n，存在正整數(shù) m 及正整數(shù)，使得？其中可以相同，且.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

先設(shè) n ≥12 且n不滿(mǎn)足要求.設(shè) m為偶數(shù)，

.

則，且

.

設(shè) l為最小的正整數(shù)， 使得.令，其中，t、s為非負(fù)整數(shù)，.

由于n不滿(mǎn)足要求 ，故 r 不可表示為不超過(guò) 2l -1個(gè)平方和， 且其中每一個(gè)不超過(guò).從而，s不可表為不超過(guò)個(gè)平方和.

當(dāng) l≥6 時(shí)，由，知.因此，t ≤6.

設(shè)為非負(fù)整數(shù)，.

由，知.

從而，.

若，則s可表為不超過(guò)4個(gè)平方和，，矛盾；

若，則s可給為不超過(guò)5個(gè)平方和，，矛盾；

若，則，s可給為不超過(guò)個(gè)平方和，矛盾.

因此，l≤5 .

當(dāng)l=5 時(shí) ，

.

設(shè).則.

若 t = 7 ，則由 r ≤112 知 s =0 ，此時(shí)，r 可表為7個(gè)42之和， 矛盾 ；

若 t = 6 ，驗(yàn)證知當(dāng) 0 ≤s ≤15 ， s ≠7，15時(shí)，s可表為 3個(gè)平方和，又

，

，矛盾.

當(dāng) l =4 時(shí)， 2l-1 =7，

.

若 t ≤4，s ≠7，

則由 s 可表為不超過(guò) 3個(gè)平方和， 3 ≤2l -1 -t ，矛盾；

若 1 ≤t ≤4，s =7 ，

則，矛盾；

若 t = 0 ， s = 7 ，

則 r 可表為 7個(gè)12之和，矛盾 .

因此 ， t ≥5.

從而，，

.

當(dāng)l ≤3 時(shí)，.

下面只要考慮 n ≤67.

由于， 故只要考慮 m ≤9 .

表1

m	a（m - a）可能取值	m - 1個(gè)形如 a（m - a）之和且小于或等于 67
9	8，14，18，20	64
8	7，12，15，16	49，54，57，58，59，62，63，64，65，66，67
7	6，10，12	36，40，42，44，46，48，50，52，54，56，58，60，62，64，66
6	5，8，9	25，28，29，31，32，33，34，35，36，37，38，39，40，41，42，43，44，45
5	4，6	16，18，20，22，24
4	3，4	9，10，11，12
3	2	4
2	1	1

查表 1知不滿(mǎn)足要求的 n 為：2 ， 3 ， 5 ， 6 ，7 ， 8 ， 13 ， 14 ， 15 ， 17 ， 19 ， 21 ， 23 ， 26 ， 27 ， 30 ， 47 ， 51 ，53 ， 55 ， 61 ，其余 n 均滿(mǎn)足要求.