如圖，已知正三棱柱
ABC－A1B1C1的底面邊長是2，D是側(cè)棱CC1的中點，直線AD與側(cè)面BB1C1C所成的角為45°．
(
Ⅰ)求此正三棱柱的側(cè)棱長；(
Ⅱ)求二面角A－BD－C的大��；(
Ⅲ)求點C到平面ABD的距離．|
解： (Ⅰ)設正三棱柱 － 的側(cè)棱長為 ．取 中點 ，連 ．
 是正三角形， ．
又底面  側(cè)面 ，且交線為 ．
 側(cè)面．
連  ，則直線 與側(cè)面所成的角為 ．……………2分
在  中， ，解得 ．…………3分
 此正三棱柱的側(cè)棱長為 ．……………………4分
注：也可用向量法求側(cè)棱長． (Ⅱ)解法1：過 作 于 ，連 ，
 側(cè)面  ．
 為二面角 的平面角．……………………………6分
在  中， ，又
 ，  ．
又 
在 中， ．…………………………8分
故二面角 的大小為 ．…………………………9分
解法 2：(向量法，見后)(Ⅲ)解法1：由(Ⅱ)可知，  平面 ，平面 平面 ，且交線為，過作 于 ，則 平面．…………10分
在  中， ．…………12分
 為中點，點 到平面 的距離為 ．…………13分
解法 2：(思路)取 中點 ，連 和 ，由  ，易得平面 平面 ，且交線為．過點作 于 ，則 的長為點 到平面 的距離．
解法 3：(思路)等體積變換：由 可求．
解法 4：(向量法，見后)題 (Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法：(Ⅱ)解法2：如圖，建立空間直角坐標系  ．
則  ．
設   為平面的法向量．
由  得 ．
取 …………6分
又平面  的一個法向量 …………7分
 ．…………8分
結(jié)合圖形可知，二面角 的大小為 ．…………9分
(Ⅲ)解法4：由(Ⅱ)解法2，   …………10分
點到平面的距離  ＝ ．13分
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如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，D是AC的中點，