Question

【題目】拋物線有光學(xué)性質(zhì)，即由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，反之亦然.如圖所示，今有拋物線，一光源在點(diǎn)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的對(duì)稱軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)，反射后，又射向拋物線上的點(diǎn)，再反射后又沿平行于拋物線的對(duì)稱軸方向射出，途中遇到直線上的點(diǎn)，再反射后又射回點(diǎn).設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，.

（1）證明：；

（2）若四邊形是平行四邊形，且點(diǎn)的坐標(biāo)為.求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由拋物線的性質(zhì)及題意，設(shè)，代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解.

（2）由題意，求得，設(shè)，則，求得，得到直線的斜率為，即可得到直線的方程.

（1）由拋物線的性質(zhì)及題意知，則光線必過拋物線的焦點(diǎn)，

設(shè)，代入拋物線方程得：，

所以.

（2）由題意知，，，所以，

關(guān)于直線對(duì)稱與直線重合，

設(shè)，則，解得，所以直線的斜率為，

所以直線的方程為.