Question

已知

（1）求的極值，

并證明：若有；

（2）設(shè)，且，，

證明：，

若，由上述結(jié)論猜想一個(gè)一般性結(jié)論（不需要證明）；

（3）證明：若，則

 

Answer 1

【答案】

（1）0，利用作差法即可證明；（2）利用綜合法即可證明，猜想：若，且時(shí)有

；（3）利用第(2)問的結(jié)論及對(duì)數(shù)的運(yùn)算證明即可

【解析】

試題分析：（1）則

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，x∈（1，＋∞）時(shí)，

∴在（0，1）遞增，在（1，＋∞）遞減，

，∴當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）有極大值為0，且         2分

∴當(dāng)時(shí)恒成立，即時(shí)恒成立。

∴         4分

（2）證明：設(shè)，且，令，則，且

，，

由（1）可知      ①

                 ②

①+②，得

∴        8分

猜想：若，且時(shí)有

         9分

（3）證明：令

由猜想結(jié)論得

=

∴，

即有。                 14分

考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)本身是個(gè)解決問題的工具，是高考必考內(nèi)容之一，高考往往結(jié)合函數(shù)甚至是實(shí)際問題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求單調(diào)、最值、完成證明等，請(qǐng)注意歸納常規(guī)方法和常見注意點(diǎn)