Question

【題目】設(shè)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，．

(I)記，討論函單調(diào)性；

(II)令，若函數(shù)G(x)有兩個零點．

(i)求參數(shù)a的取值范圍；

(ii)設(shè)的兩個零點，證明．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ)（i）a>0; (ii)見解析

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（Ⅱ）（i）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，根據(jù)函數(shù)的零點的個數(shù)，求出a的范圍即可；

（ii）根據(jù)a的范圍，得到，令m＞0，得到F （-1+m）﹣F（﹣1﹣m）（e2m+1），再令φ（m）e2m+1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

（Ⅰ），

，所以

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增．

（Ⅱ）由已知，，

．

①當(dāng)時，，有唯一零點；

②當(dāng)時，，所以

當(dāng)時，，減；

當(dāng)時，，增．

所以，

因，所以當(dāng)時，有唯一零點；

當(dāng)時，，則，所以，

所以，

因為，

所以，，，且，當(dāng)，時，使，

取，則，從而可知

當(dāng)時，有唯一零點，

即當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點．

③當(dāng)時，，由，得，或．

若，即時，，所以是單調(diào)減函數(shù)，至多有一個零點；

若，即時，，注意到，都是增函數(shù)，所以

當(dāng)時，，是單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)時，，是單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時，，是單調(diào)減函數(shù)．

又因為，所以

至多有一個零點；

若，即時，同理可得

當(dāng)時，，是單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)時，，是單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時，，是單調(diào)減函數(shù)．

又因為，所以至多有一個零點．

綜上，若函數(shù)有兩個零點，則參數(shù)的取值范圍是．

由知，函數(shù)有兩個零點，則參數(shù)的取值范圍是．

，是的兩個零點，則有

，

因，則，且，，，，，

由（Ⅰ）知，當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)．

令，，

再令φ（m）e2m+1＝e2m1，，

，

所以，又，所以

時，恒成立，即

恒成立，

令，即，有，即

，

因為，所以，又，必有，

又當(dāng)時，是增函數(shù)，所以，即

．