Question

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)與點(diǎn)均在橢圓上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，問(wèn)：橢圓上是否存在點(diǎn)（點(diǎn)在一象限），使得為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件，列出不等式組，求解，即可求解橢圓的橢圓的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)，代入橢圓的方程，解得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得直線(xiàn)的方程，代入求解所以，即可求解點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）由題意，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率存在且大于零， ①

設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)，

聯(lián)立方程組，得，

所以 ②

同理可得直線(xiàn)的方程為 ③

將②③代入①式得，

化簡(jiǎn)得，所以

所以，

綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)