Question

【題目】雙曲線C的方程為離心率頂點(diǎn)到漸近線的距離為

（1）求雙曲線C的方程；

（2）點(diǎn)P是雙曲線C上一點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一，二象限．若求△AOB面積的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）先由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求得頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，進(jìn)而根據(jù)頂點(diǎn)到漸近線的距離求得a，b和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，最后根據(jù)c=綜合得方程組求得a，b和c，則雙曲線方程可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得漸近線方程，設(shè)A（m，2m），B（-n，2n），根據(jù)得P點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程化簡(jiǎn)整理m，n與λ的關(guān)系式，設(shè)∠AOB=2θ，進(jìn)而根據(jù)直線的斜率求得tanθ，進(jìn)而求得sin2θ，進(jìn)而表示出|OA|，得到△AOB的面積的表達(dá)式，根據(jù)λ的范圍求得三角形面積的最大值和最小值，△AOB面積的取值范圍可得

試題解析：（Ⅰ）由題意知，雙曲線C的頂點(diǎn)到漸近線

∴ [由得∴雙曲線C的方程為

（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為由題意知由{

得A點(diǎn)的坐標(biāo)為由{得B點(diǎn)的坐標(biāo)為

由得P點(diǎn)的坐標(biāo)為

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入設(shè)Q為直線AB與y軸的交點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m）．

=

設(shè)在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，△AOB的面積取得最小值2，當(dāng)時(shí)，△AOB的面積取得最大值

∴△AOB面積的取值范圍是