Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，且，橢圓的離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1） ;（2） 或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)所給的條件，用橢圓的基本量表示，解得方程；

（2）分直線斜率不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示和，并且根據(jù)條件，表示坐標(biāo)的關(guān)系，代入根與系數(shù)的關(guān)系后，消去或，得到關(guān)于斜率的方程，解得斜率，求得直線方程.

試題解析：（1）依題意，，因?yàn)?/span>，故．

因?yàn)?/span>，故，故，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）若與軸垂直，則的方程為，，為橢圓短軸上兩點(diǎn)，不符合題意．

若與軸不垂直，設(shè)的方程，由得，．

設(shè)，，則，，

由，得，∴，

∴，，，

解得，直線的方程為，即或．