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        1. 【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2
          (1)討論f(x)的單調(diào)性;
          (2)若f(x)有兩個零點(diǎn),求a的取值范圍.

          【答案】
          (1)

          解:由f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2,

          可得f′(x)=(x﹣1)ex+2a(x﹣1)=(x﹣1)(ex+2a),

          當(dāng)a≥0時(shí),由f′(x)>0,可得x>1;由f′(x)<0,可得x<1,

          即有f(x)在(﹣∞,1)遞減;在(1,+∞)遞增;

          當(dāng)a<0時(shí),若a=﹣ ,則f′(x)≥0恒成立,即有f(x)在R上遞增;

          若a<﹣ 時(shí),由f′(x)>0,可得x<1或x>ln(﹣2a);

          由f′(x)<0,可得1<x<ln(﹣2a).

          即有f(x)在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)遞增;

          在(1,ln(﹣2a))遞減;

          若﹣ <a<0,由f′(x)<0,可得x<1或x>ln(﹣2a);

          由f′(x)>0,可得1<x<ln(﹣2a).

          即有f(x)在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)遞減;

          在(1,ln(﹣2a))遞增;


          (2)

          解:由(Ⅰ)可得若a≥0時(shí),f(x)在(﹣∞,1)遞減;在(1,+∞)遞增,

          且f(1)=﹣e<0,x→+∞,f(x)→+∞;x→﹣∞,f(x)→+∞.f(x)有兩個零點(diǎn);

          若a<﹣ 時(shí),f(x)在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)遞增,

          在(1,ln(﹣2a))遞減,f(1)=﹣e<0,f(x)只有一個零點(diǎn);

          若a=﹣ ,f(x)在R上遞增,f(x)只有一個零點(diǎn);

          若﹣ <a<0,f(x)在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)遞減;

          在(1,ln(﹣2a))遞增;且f(1)=﹣e<0,x→+∞,f(x)→+∞;

          x→﹣∞,f(x)→﹣∞.f(x)在(1,+∞)只有一個零點(diǎn),

          f(x)若恰有兩個零點(diǎn),只要使f(ln(﹣2a))=0,

          即(ln(﹣2a)﹣2)(﹣2a)+a[ln(﹣2a)﹣1}2=0,

          即有4﹣2ln(﹣2a)+[ln(﹣2a)﹣1}2=0,

          又﹣ <a<0,可得ln(﹣2a)<1,4﹣2ln(﹣2a)>0,[ln(﹣2a)﹣1}2>0,則不可能為0,

          綜上可得,f(x)有兩個零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍為[0,+∞)


          【解析】(Ⅰ)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),討論當(dāng)a≥0時(shí),a<﹣ 時(shí),a=﹣ 時(shí),﹣ <a<0,由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;由導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;(2)由(Ⅰ)的單調(diào)區(qū)間,對a討論,結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點(diǎn),即可得到所求范圍.;本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間,考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷,注意運(yùn)用分類討論的思想方法和函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于難題.
          【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為原點(diǎn),以x軸正半軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρsinθ+3=0,直線l的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù)).
          (1)寫出曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程;
          (2)若點(diǎn)A,B是曲線C上的兩動點(diǎn),點(diǎn)P是直線l上一動點(diǎn),求∠APB的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )

          A. 64 B. 32 C. 96 D. 48

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,已知正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長交AB于點(diǎn)G.

          (1)證明:G是AB的中點(diǎn);
          (2)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù)f(x)=4sinxcos(x+)+1.

          (1)求f()的值;

          (2)求f(x)的最小正周期;

          (3)求f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值和最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】[選修4-5:不等式選講]
          已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.

          (1)在圖中畫出y=f(x)的圖象;
          (2)求不等式|f(x)|>1的解集.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】等差數(shù)列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
          (1)求{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)設(shè)bn=[an],求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C: =1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左,右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PF⊥x軸,過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn),則C的離心率為( 。
          A.
          B.
          C.
          D.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù) 的零點(diǎn), 圖像的對稱軸,且 單調(diào),則 的最大值為( 。
          A.11
          B.9
          C.7
          D.5

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          同步練習(xí)冊答案