Question

【題目】已知定義域為R的函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，
即
又由f（1）=﹣f（﹣1）知 ．
所以a=2，b=1．
經(jīng)檢驗a=2，b=1時， 是奇函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)．
又因為f（x）是奇函數(shù)，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等價于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因為f（x）為減函數(shù)，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2 ．
即對一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
從而判別式 ．
所以k的取值范圍是k＜﹣
【解析】（Ⅰ）利用奇函數(shù)定義，在f（﹣x）=﹣f（x）中的運用特殊值求a，b的值；
（Ⅱ）首先確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0轉(zhuǎn)化為關于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的奇函數(shù)的相關知識點，需要掌握一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)才能正確解答此題．