Question

（理科）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，S_n=a_na_n+1（n∈N⁺），其中Sn是數(shù)列{a_n}的前n項的和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）已知p（≥2）是給定的某個正整數(shù)，數(shù)列{b_n}滿足b_n=1，=
（k=1，2，3…，p-1），求b_k；
（3）化簡b₁+b₂+b₃+…+b_p．

Answer 1

【答案】分析：（1）由可得，兩式相減，可求得a_n．
（2）由（1）已求得a_n=n，==，b₁=1，可以求得b₂，b₃，…用歸納法可求得b_k；
（3）可得b₁+b₂+…+b_p的式子，然后利用組合數(shù)的性質(zhì)可以解決問題．
解答：解：（1）∵，（n∈N^*），
∴．
∴a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），即a_n+1-a_n-1=2（n≥2）．
∴a₂，a₄，a₆，…a_2n是首項為a₂，公差為2的等差數(shù)列；
 a₁，a₃，…a_2n-1是首項為a₁，公差為2的等差數(shù)列．
又，可得a₂=2．
∴a_2n=2n，a_2n-1=2n-1（n∈N^*）．
所以，所求數(shù)列的通項公式為：a_n=n．
（2）∵p是給定的正整數(shù)（p≥2），
=（k=1，2，3，…p-1），
∴數(shù)列{b_k}是項數(shù)為p項的有窮數(shù)列．
b₁=1，=（k=1，2，3，…p-1），
∴b₂=（-1），b₃=（-1）²，b₄=（-1）³，…，
 歸納可得．
（3）由（2）可知，
 進一步可化為．
所以，b₁+b₂+b₃+…+b_p-1+b_p
=
=
=
=．
點評：本題考查數(shù)列的遞推關系，考查歸納法，解決的難點在于歸納法的選擇與靈活應用，特別是第（3）問中，組合數(shù)性質(zhì)的轉(zhuǎn)化與運用更是難點，屬于難題．