Question

（理科）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n，S_n）都在直線2x-y-

1

2

=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a_n²=2 -bn設(shè)C_n=

bn

an

求數(shù)列{C_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用條件確定數(shù)列是等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的性質(zhì)確定數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）求出數(shù)列{C_n}的通項(xiàng)公式然后利用錯(cuò)誤相減法求{C_n}前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：因?yàn)辄c(diǎn)（a_n，S_n）都在直線2x-y-

1

2

=0，
所以2an-Sn-

1

2

=0，即2an=Sn+

1

2

，an＞0，
當(dāng)n=1時(shí)，2a1=a1+

1

2

，即a1=

1

2

．
當(dāng)n≥2時(shí)，2an=Sn+

1

2

=0，2an-1=Sn-1+

1

2

，
兩式相減得2a_n-2a_n-1=a_n，整理得：

an

an-1

=2，
所以數(shù)列{a_n}是

1

2

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
所以an=

1

2

?2n-1=2n-2  …（5分）
（2）

a

2 n

=2-bn=22n-4，所以b_n=4-2n，Cn=

bn

an

=

4-2n

2n-2

=

16-8n

2n

，
所以Tn=

8

2

+

0

22

+…+

24-8n

2n-1

+

16-8n

2n

，①

1

2

Tn=

8

22

+…+

24-8n

2n

+

16-8n

2n+1

   ②
①-②得

1

2

Tn=4-8(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

16-8n

2n+1

=4-8

1 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

16-8n

2n+1

=4-4(1-

1

2n-1

)-

16-8n

2n+1

=

4n

2n

，
所以Tn=

8n

2n

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．