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        1. 在數(shù)列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列.
          (1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜測(cè){an},{bn}的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論;
          (2)證明:
          1
          a1+b1
          +
          1
          a2+b2
          +…+
          1
          an+bn
          5
          12
          分析:(1)根據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的性質(zhì)求得an和bn的關(guān)系式,分別求得a2,a3,a4及b2,b3,b4,推測(cè)出它們的通項(xiàng)公式.先看當(dāng)n=1時(shí),等式明顯成立;進(jìn)而假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,推斷出ak和bk的表達(dá)式,進(jìn)而看當(dāng)n=k+1時(shí)看結(jié)論是否成立即可.
          (2)先n=1時(shí),不等式成立,進(jìn)而看n≥2時(shí)利用(1)中的{an},{bn}的通項(xiàng)公式,以及裂項(xiàng)法進(jìn)行求和,證明題設(shè).
          解答:解:(1)由條件得2bn=an+an+1,an+12=bnbn+1
          由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.
          猜測(cè)an=n(n+1),bn=(n+1)2
          用數(shù)學(xué)歸納法證明:
          ①當(dāng)n=1時(shí),由上可得結(jié)論成立.
          ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,
          那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1=
          a
          2
          k+2
          bk
          =(k+2)2
          所以當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.
          由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立.
          (2)證明:
          1
          a1+b1
          =
          1
          6
          5
          12

          n≥2時(shí),由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n.
          1
          a1+b1
          +
          1
          a2+b2
          +…+
          1
          an+bn
          1
          6
          +
          1
          2
          (
          1
          2×3
          +
          1
          3×4
          +…+
          1
          n(n+1)
          )
          =
          1
          6
          +
          1
          2
          (
          1
          2
          -
          1
          3
          +
          1
          3
          -
          1
          4
          +…+
          1
          n
          -
          1
          n+1
          )
          =
          1
          6
          +
          1
          2
          (
          1
          2
          -
          1
          n+1
          )<
          1
          6
          +
          1
          4
          =
          5
          12

          綜上,原不等式成立.
          點(diǎn)評(píng):本小題主要考查等差數(shù)列,等比數(shù)列,數(shù)學(xué)歸納法,不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          在數(shù)列{an}中an≠0,a1,a2,a3成等差數(shù)列,a2,a3,a4成等比數(shù)列,a3,a4,a5的倒數(shù)成等差數(shù)列,則a1,a3,a5( 。
          A、是等差數(shù)列B、是等比數(shù)列C、三個(gè)數(shù)的倒數(shù)成等差數(shù)列D、三個(gè)數(shù)的平方成等差數(shù)列

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是( 。
          A、兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,則∠A+∠B=180°
          B、某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人數(shù)超過(guò)50人
          C、由平面三角形的性質(zhì),推測(cè)空間四面體的性質(zhì)
          D、在數(shù)列{an}中,a1=1,an=
          1
          2
          (an-1+
          1
          an_-
          1
          )(n≥2),由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          在數(shù)列{an}中,an=4n-
          5
          2
          ,a1+a2+…+an=an2+bn,n∈N*,其中a,b為常數(shù),則ab等于( 。
          A、1B、-1C、2D、-2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          在數(shù)列{an}中,a1=3,且對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,點(diǎn)(
          an
          ,
          an-1
          )在直線2x-2y-
          3
          =0上,則an=(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2011•湖北模擬)在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=1,an+1=λan+an-1
          (I)若λ=-
          32
          bn=an+1-aan,數(shù)列{bn}
          是公比為β的等比數(shù)列,求α和β的值.
          (II)若λ=1,基于事實(shí):如果d是a和b的公約數(shù),那么d一定是a-b的約數(shù).研討是否存在正整數(shù)k和n,使得kan+2+an與kan+3+an+1有大于1的公約數(shù),如果存在求出k和n,如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案