Question

在圓O：x²+y²=4上任取一點P，過P點作X軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時．
（1）求線段PD的中點M軌跡方程．
（2）若圓M與圓O關(guān)于直線l：y=x-2對稱，求圓M的方程．

Answer 1

分析：（1）確定P、D坐標之間的關(guān)系，利用點P在圓C：x²+y²=4上，即可求得線段PD中點M的軌跡E的方程；
（2）求出點O關(guān)于直線的對稱點M的坐標，即可得到圓M的方程．

解答：解：（1）設(shè)PD中點M（x，y），P（x′，y′），依題意x=x′，y=

y′

2

∴x′=x，y′=2y
又點P在圓O：x²+y²=4上，∴（x′）²+（y′）²=4，即x²+4y²=4
∴線段PD的中點M軌跡方程為x²+4y²=4；
（2）設(shè)M（a，b），則

b a ×1=-1 b 2 = a 2 -2

，∴a=2，b=-2
∴M（2，-2）
∵圓M與圓O關(guān)于直線l：y=x-2對稱，
∴圓M的方程為（x-2）²+（y+2）²=4

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查對稱性，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．