Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求不等式的解集；

（2）當時，若對任意互不相等的實數(shù)，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）判斷函數(shù)在上的零點的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）3個零點.

【解析】試題分析：（1）當時，不等式為，去掉絕對值化為或，解得；（2）先求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，由題意可得在上單調(diào)增，故可得，解得解得或；（3），當時，根據(jù)零點存在定理可得函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間各有一個零點；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間有一個零點，綜上可得函數(shù)共有3個零點。

試題解析：

（1）當時，不等式為，

∴或，

解得，

∴原不等式的解集為.

（2)

的單調(diào)增區(qū)間為和

又在上單調(diào)增，

，

解得或

∴實數(shù)的取值范圍為 .

（3）由題意得

①當時，對稱軸為，

因為，

∴，

∵，即

∴，

又

由零點存在性定理可知，函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間各有一個零點；

②當時，對稱軸為，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且，

所以函數(shù)在區(qū)間有一個零點。

綜上函數(shù)在上有3個零點.