Question

如圖，在直四棱柱中，底面為平行四邊形，且，，，為的中點(diǎn).

（1） 證明：∥平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）利用線線平行證明線面平行；（2）

【解析】

試題分析：（1） 證明：連接，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072312370345116009/SYS201307231237445051755615_DA.files/image004.png">，,所以∥,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072312370345116009/SYS201307231237445051755615_DA.files/image007.png">面，面，所以∥面.

（2）作，分別令為

軸，軸，軸,建立坐標(biāo)系如圖

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072312370345116009/SYS201307231237445051755615_DA.files/image016.png">，，所以，、

所以，，，，

設(shè)面的法向量為,所以，

化簡(jiǎn)得，令，則.

設(shè)，則

設(shè)直線與面所成角為，則

所以，則直線與面所成角的正弦值為 .

考點(diǎn)：本題考查了空間中的線面關(guān)系及角的求法

點(diǎn)評(píng)：（1）線面關(guān)系的證明主要是應(yīng)用線面平行與垂直的判定定理或性質(zhì)，具體問(wèn)題中要是能夠根據(jù)題意適當(dāng)做輔助線；（2）空間中角的計(jì)算，總是通過(guò)一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來(lái)解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)的