Question

如圖所示，已知圓C：(x＋1)²＋y²＝8，定點(diǎn)A(1，0)，M為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足AM＝2AP，NP⊥AM，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．

(1)求曲線E的方程；

(2)若過定點(diǎn)F(0，2)的直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H(點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間)，且滿足，求直線l的方程；

(3)設(shè)曲線E的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線交曲線于Q，S兩點(diǎn)，過F₂的直線交曲線于R，T兩點(diǎn)，且QS⊥RT，垂足為W；(ⅰ)設(shè)W(x₀，y₀)，證明：；(ⅱ)求四邊形QRST的面積的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵NP為AM的中垂線， 　　∴NA=NM，∴NA+NC=CM=2 　　∴N的軌跡為A，C為焦點(diǎn)的橢圓2a=2， 　　∴，c=1， 　　∴b=1，∴方程為 　　(2)當(dāng)時，即G為FH中點(diǎn)時，設(shè)、 　　∴， 　　代入橢圓得， 　　∴， 　　∴， 　　∴ 　　(3)(i)∵， 　　∴W在以為直徑的圓上，， 　　∴， 　　∴ 　　(ii)設(shè)QS的方程為(當(dāng)存在且不為0時)， 　　代入， 　　∴ 　　設(shè)， 　　∴， 　　∴， 　　∵， 　　∴， 　　同理， 　　∴≥， 　　當(dāng)時，取等號，當(dāng)不存在或時， 　　∵， 　　∴