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        1. (理)如圖所示,已知圓C:(x+1)2+y2=8,定點(diǎn)A(1,0),M為圓上一動點(diǎn),點(diǎn)P在AM上,點(diǎn)N在CM上,且滿足
          AM
          =2
          AP
          ,
          NP
          AM
          =0,點(diǎn)N的軌跡為曲線E.
          (1)求曲線E的方程;
          (2)過點(diǎn)S(0,
          1
          3
          )且斜率為k的動直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn),在y軸上是否存在定點(diǎn)G,滿足
          GP
          =
          GA
          +
          GB
          使四邊形NAPB為矩形?若存在,求出G的坐標(biāo)和四邊形NAPB面積的最大值;若不存在,說明理由.
          分析:(1)先判斷NP為AM的中垂線,從而可得|CN|+|AN|=2
          2
          ,故可知動點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(-1,0),A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓,由此可得曲線E的方程;
          (2)動直線l的方程為:y=kx-
          1
          3
          與橢圓方程聯(lián)立,消元可得(2k2+1)x2-
          3
          4
          kx-
          16
          9
          =0,假設(shè)在y上存在定點(diǎn)G(0,m),使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn),則
          GA
          GB
          =0恒成立,故可得點(diǎn)G的坐標(biāo),進(jìn)而可得四邊形NAPB面積,利用基本不等式,可確定最值.
          解答:解:(1)∵
          AM
          =2
          AP
          ,
          NP
          AM
          =0,
          ∴NP為AM的垂直平分線,∴|NA|=|NM|.
          又∵|CN|+|NM|=2
          2

          ∴|CN|+|AN|=2
          2
          >2
          ∴動點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(-1,0),A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓.
          且橢圓長軸長為2a=2
          2
          ,焦距2c=2
          ∴a=
          2
          ,c=1,∴b2=1
          ∴曲線E的方程為
          x2
          2
          +y2=1
          ;
          (2)動直線l的方程為:y=kx-
          1
          3
          與橢圓方程聯(lián)立,消元可得(2k2+1)x2-
          3
          4
          kx-
          16
          9
          =0
          設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=
          4k
          3(2k2+1)
          ,x1x2=-
          16
          9(2k2+1)

          假設(shè)在y上存在定點(diǎn)G(0,m),滿足題設(shè),則
          GA
          =(x1,y1-m),
          GB
          =(x2,y2-m),
          GA
          GB
          =x1x2+(y1-m)(y2-m)=
          18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)
          9(2k2+1)

          由假設(shè)得對于任意的k∈R,
          GA
          GB
          =0恒成立,∴m2-1=0且9m2+m-15-0,解得m=1.
          因此,在y軸上存在定點(diǎn)G,使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn),點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,1)
          這時(shí),點(diǎn)G到AB的距離d=
          4
          3
          k2+1
          |AB|
          =
          (k2+1)(x1-x2)2

          SGAPB=|AB|d=
          4
          3
          (x1-x2)2
          =
          16
          9
          9k2+4
          (2k2+1)2

          設(shè)2k2+1=t,則k2=
          t-1
          2
          ,得t∈[1,+∞),
          1
          t
          ∈(0,1]

          所以SGAPB=
          16
          9
          1
          2
          [
          81
          4
          -(
          1
          t
          -
          9
          2
          )
          2
          ]
          32
          9
          ,當(dāng)且僅當(dāng)
          1
          t
          =1
          時(shí),上式等號成立.
          因此,四邊形NAPB面積的最大值是
          32
          9
          點(diǎn)評:本題是直線與圓錐曲線的綜合問題的考查,是綜合題有一定的難度,考查利用圓錐曲線的定義求曲線方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查面積的計(jì)算,考查基本不等式的運(yùn)用,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (理)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
          π2
          )的部分圖象如圖所示.
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
          (Ⅱ)求函數(shù)f(x)的對稱軸方程與單調(diào)遞增區(qū)間.

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          (1)求曲線E的方程;
          (2)過點(diǎn)S(0,)且斜率為k的動直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn),在y軸上是否存在定點(diǎn)G,滿足使四邊形NAPB為矩形?若存在,求出G的坐標(biāo)和四邊形NAPB面積的最大值;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省常州一中高三(上)12月周練數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          (理)如圖所示,已知圓C:(x+1)2+y2=8,定點(diǎn)A(1,0),M為圓上一動點(diǎn),點(diǎn)P在AM上,點(diǎn)N在CM上,且滿足,=0,點(diǎn)N的軌跡為曲線E.
          (1)求曲線E的方程;
          (2)過點(diǎn)S(0,)且斜率為k的動直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn),在y軸上是否存在定點(diǎn)G,滿足使四邊形NAPB為矩形?若存在,求出G的坐標(biāo)和四邊形NAPB面積的最大值;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年湖北省武漢市黃陂一中盤龍校區(qū)高二數(shù)學(xué)檢測試卷(六)(解析版) 題型:解答題

          (理)如圖所示,已知圓C:(x+1)2+y2=8,定點(diǎn)A(1,0),M為圓上一動點(diǎn),點(diǎn)P在AM上,點(diǎn)N在CM上,且滿足,=0,點(diǎn)N的軌跡為曲線E.
          (1)求曲線E的方程;
          (2)過點(diǎn)S(0,)且斜率為k的動直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn),在y軸上是否存在定點(diǎn)G,滿足使四邊形NAPB為矩形?若存在,求出G的坐標(biāo)和四邊形NAPB面積的最大值;若不存在,說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案