Question

已知函數(shù)f（x）=2ax-

1

x2

，x∈（0，1]．
（1）若f（x）在x∈（0，1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值．

Answer 1

（1）由已知可得f′（x）=2a+

2

x3

，
∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴f′（x）＞0，即a＞-

1

x3

，x∈（0，1]．∴a＞-1．
當(dāng)a=-1時(shí)，f′（x）=-2+

2

x3

對(duì)x∈（0，1）也有f′（x）＞0，
滿足f（x）在（0，1]上為增函數(shù)，∴a≥-1．
（2）由（1）知，當(dāng)a≥-1時(shí)，f（x）在（0，1]上為增函數(shù)，
∴[f（x）]_max=f（1）=2a-1．
當(dāng)a＜-1時(shí)，令f′（x）=0得x=

1

3 -a

，
∵0＜

1

3 -a

＜1，∴0＜x＜

1

3 -a

時(shí)，
f′（x）＞0；

1

3 -a

＜x≤1時(shí)，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，

1

3 -a

）上是增函數(shù)，
在（

1

3 -a

，1]減函數(shù)．
∴[f（x）]_max=f（

1

3 -a

）=-3

3	a2

．