Question

（幾何證明選講選選做題）如圖，AC是⊙O的直徑，B是⊙O上一點，∠ABC的平分線與⊙O相交于．D已知BC=1，AB=，則AD=    ；過B、D分別作⊙O的切線，則這兩條切線的夾角θ=    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意可得∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，由BC=1，AB=可知∠C=60°，∠BAC=30°，由圓周角定理可知∠C=∠ADB=60°，△ABD中，由正弦定理可求AD
由∠BAD=30°+45°=75°可得∠BOD=2∠BAD=150°，由∠OBP=∠ODP=90°及點ODPB共圓可求∠P
解答：解：∵AC是⊙O的直徑，B是⊙O上一點
∴∠ABC=90°
∵∠ABC的平分線與⊙O相交于D，BC=1，AB=
∴∠C=60°，∠BAC=30°，∠ABD=∠CBD=45°
由圓周角定理可知∠C=∠ADB=60°
△ABD中，由正弦定理可得即=∵∠BAD=30°+45°=75°
∴∠BOD=2∠BAD=150°
設(shè)所作的兩切線交于點P，連接OB，OD，則可得OB⊥PB，OD⊥PD
即∠OBP=∠ODP=90°
∴點ODPB共圓
∴∠P+∠BOD=180°
∴∠P=30°
故答案為：


點評：本題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用，三角形的正弦定理的應(yīng)用，及圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的應(yīng)用，屬于圓的知識的綜合應(yīng)用．