Question

【題目】選做題：幾何證明選講 如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CF交AB于E．

（1）求證：E是AB的中點(diǎn)；
（2）求線段BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接DF，DO，則∠CDO=∠FDO，

因?yàn)锽C是的切線，且CF是圓D的弦，

所以 ，即∠CDO=∠BCE，

故Rt△CDO≌Rt△BCE，

所以 ．

所以E是AB的中點(diǎn)

（2）解：連接BF，

∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB

∴△FEB∽△BEC，

得 ，

∵ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，

所以

【解析】（1）根據(jù)∠CDO=∠FDO，BC是的切線，且CF是圓D的弦，得到 ，即∠CDO=∠BCE，得到兩個(gè)三角形全等，得到線段相等，得到結(jié)論．（2）根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，得到兩個(gè)三角形相似，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，根據(jù)所給的長(zhǎng)度，代入比例式，得到要求的線段．