Question

（1）已知α，β都為銳角，sinα=

1

7

，cos(α+β)=

5 3

14

，求sinβ與cosβ的值
（2）已知tanα=

1

3

，tanβ=-2，0°＜α＜90°，270°＜β＜360° 求α+β的值．

Answer 1

分析：（1）由α與β都為銳角，以及sinα與cos（α+β）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα與sin（α+β）的值，根據(jù)β=[（α+β）-α]，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算求出sinβ的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cosβ的值；
（2）根據(jù)tanα的值及α的范圍，確定出α的具體范圍，進而確定出α+β的范圍，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡tan（α+β），將各自的值代入計算求出值，再利用特殊角的三角函數(shù)值即可確定出α+β的值．

解答：解：（1）∵α，β都為銳角，sinα=

1

7

，cos（α+β）=

5 3

14

，
∴cosα=

1-sin2α

=

4 3

7

，sin（α+β）=

1-cos2(α+β)

=

11

14

，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=

11

14

×

4 3

7

-

5 3

14

×

1

7

=

39 3

98

，
cosβ=

1-sin2β

=

71

98

；
（2）∵tanα=

1

3

＜1，tanβ=-2，0＜α＜45°，270°＜β＜360°，
∴270°＜α+β＜405°，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 3 -2

1+ 1 3 ×2

=-1，
則α+β=315°．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的正切函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．