Question

【題目】如圖，在三棱柱中，每個(gè)側(cè)面均為正方形，D為底邊AB的中點(diǎn)，E為側(cè)棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）見解析

（3）

【解析】

（1）設(shè)和的交點(diǎn)為，根據(jù)，且，得到四邊形為平行四邊形，故，平面．

（2）證明平面，可得平面，故有，由正方形的兩對(duì)角線的性質(zhì)可得，

從而證得平面．

（3）利用等體積法將轉(zhuǎn)化為求可得.

證明：（1）設(shè)和的交點(diǎn)為O，連接EO，連接OD.

因?yàn)?/span>O為的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，

所以且.又E是中點(diǎn)，

所以，且，

所以且.

所以，四邊形ECOD為平行四邊形.所以.

又平面，平面，則平面.

（2）因?yàn)槿�棱柱各�?cè)面都是正方形，所以，.

所以平面ABC.因?yàn)?/span>平面ABC，所以.

由已知得，所以，

所以平面.由（1）可知，所以平面.

所以.因?yàn)閭?cè)面是正方形，所以.

又，平面，平面，

所以平面.

（3）解：由條件求得，，可以求得

所以