Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱的長(zhǎng)度都為4，則異面直線AB₁與BC₁所成的角是

 

（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：利用兩個(gè)向量數(shù)量積的定義求得

AB1

•

BC1

，由

AB1

•

BC1

=（

AB

+

BB1

）•（

BC

 + 

CC1

）求得

AB1

•

BC1

，求得cos＜

AB1

 ，

BC1

＞=

1

4

，故異面直線AB₁與BC₁所成的角是arccos

1

4

．

解答：解：

AB1

•

BC1

=4

2

×4

2

cos＜

AB1

，

BC1

＞=32cos＜

AB1

，  BC1

＞．
又 

AB1

•

BC1

=（

AB

+

BB1

）•（

BC

 + 

CC1

）=

AB

•

BC

+

AB

•

CC1

+

BB1

•

BC

+

BB1

•

CC1

=4×4cos120°+0+0+4×4=8．
故有 32cos＜

AB1

，

BC1

＞=8，∴cos＜

AB1

，

BC1

＞=

1

4

，∴＜

AB1

，

BC1

＞=arccos

1

4

，
故異面直線AB₁與BC₁所成的角是 arccos

1

4

，
故答案為arccos

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，求出cos＜

AB1

，

BC1

＞的值，是解題的關(guān)鍵．