Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓相交于， 兩點(diǎn)， ， 分別為線段， 的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意右焦點(diǎn)為，離心率為，可得；（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，則OM⊥ON故，連立方程得出韋達(dá)定理，將韋達(dá)定理代入得到關(guān)于k的方程即可得出k值

解析：(1)由題意得得 a=2,所以 =4，

結(jié)合，解得 =3，所以，橢圓的方程為.

(2)由消去得：（3+4k2）x2+8kx-8=0，

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 ,

依題意知，OM⊥ON，且, ,

,

即(x1+1) (x2+1)+(k x1+1)(k x2+1)=0,

整理得： ,

所以,

整理得：4k2+4k+1=0 所以 .