Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=，（n∈N*）

（1）求數(shù)列{an}的通項公式an，

（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=（3n﹣1）an，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若不等式（﹣1）nλ＜Tn對一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）an=．（2）﹣1＜λ＜2．

【解析】

試題（1）由已知條件推導(dǎo)出，從而得到=（）3n﹣1=．由此能求出結(jié)果．

（2）由=，利用裂項求和法求出，從而得到{Tn}為單調(diào)遞增數(shù)列，由此利用分類討論思想能求出λ的取值范圍．

解：（1）∵數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=，（n∈N*）

∴=，

∴，

∴=（）3n﹣1=．

∴an=．

（2）∵，bn=（3n﹣1）an，

∴=，

∴，①

，②

①﹣②，得

=﹣

=2﹣，

∴．，

∵Tn+1﹣Tn=（4﹣）﹣（4﹣）=，

∴{Tn}為單調(diào)遞增數(shù)列，

∵不等式（﹣1）nλ＜Tn對一切n∈N*恒成立，

∴①當(dāng)n為正奇數(shù)時，﹣λ＜Tn對一切正奇數(shù)成立，

∴（Tn）min=T1=1，∴﹣λ＜1，∴λ＞﹣1；

②當(dāng)n為正偶數(shù)時，λ＜Tn對一切正偶數(shù)成立，

∵（Tn）min=T2=2，∴λ＜2．

綜上知﹣1＜λ＜2．