Question

【題目】已知橢圓，定義橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為.

（1）求橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”的軌跡方程；

（2）如果橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為，對(duì)于橢圓上的任意點(diǎn)及它的“伴隨點(diǎn)”，求的取值范圍；

（3）當(dāng)， 時(shí)，直線交橢圓于， 兩點(diǎn)，若點(diǎn)， 的“伴隨點(diǎn)”分別是， ，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．

Answer 1

【答案】（1） ;（2）;（3） .

【解析】試題分析：(1)利用相關(guān)點(diǎn)代入法求解；（2）先由已知求得橢圓方程為 ，設(shè)

；（3）設(shè), 1)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為

，由以 為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

，又到直線的距離 ；2) 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)方程為

的面積是定值 .

試題解析：（1）解.設(shè)（）由題意 則，又

，從而得

（2）由，得.又，得.

點(diǎn)在橢圓上， ， ，且，

，

由于， 的取值范圍是

（3） 設(shè),則;

1)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為, 由

得； 有 ①

由以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O可得: ；

整理得: ②

將①式代入②式得: ,

又點(diǎn)到直線的距離

所以

2) 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)方程為

聯(lián)立橢圓方程得；代入得，解得,從而,綜上: 的面積是定值.