Question

如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別在邊上，，現(xiàn)將△沿線(xiàn)段折起到△位置，使得．

（1）求五棱錐的體積；
（2）求平面與平面的夾角．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）由于△沿線(xiàn)段折起到△的過(guò)程中，平面平面始終成立.所以平面.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044849191640.png" style="vertical-align:middle;" />，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別在邊上，.即可求得結(jié)論.
（2）依題已建立空間直角坐標(biāo)系.求出兩個(gè)平面的法向量，由法向量的夾角得到平面與平面的夾角.

試題解析：（1）連接，設(shè)，由是正方形，，
得是的中點(diǎn)，且，從而有，
所以平面，從而平面平面，     2分
過(guò)點(diǎn)作垂直且與相交于點(diǎn)，
則平面            4分
因?yàn)檎�方�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044849067526.png" style="vertical-align:middle;" />的邊長(zhǎng)為，，
得到：，
所以，
所以
所以五棱錐的體積；     6分
（2）由（1）知道平面，且，即點(diǎn)是的交點(diǎn)，
如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，         7分

設(shè)平面的法向量為，則
，
，
令，則，         9分
設(shè)平面的法向量，則，
，
令，則，即，             11分
所以，即平面與平面夾角.         12分