Question

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=

π

2

，BC=CD=2，PD=4，A為PD的中點(diǎn)，如圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點(diǎn)E在SD上，且

SE

=

1

3

SD

，如圖．
（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正切值．

Answer 1

分析：（法一）（1）由題意可知，翻折后的圖中SA⊥AB①，易證BC⊥SA②，由①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；
（2）（三垂線法）由

SE

=

1

3

SD

考慮在AD上取一點(diǎn)O，使得 

AO

=

1

3

AD

，從而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，過(guò)O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，∠EHO為二面角E-AC-D的平面角，在Rt△AHO中求解即可
（法二：空間向量法）
（1）同法一
（2）以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，易知平面ACD的法向?yàn)?span id="zt9w9gj" class="MathJye">

AS

=(0，0，2)，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可

解答：解法一：（1）證明：在題平面圖形中，由題意可知，BA⊥PD，ABCD為正方形，
所以在翻折后的圖中，SA⊥AB，SA=2，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
因?yàn)镾B⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B
所以BC⊥平面SAB，
又SA?平面SAB，
所以BC⊥SA，
又SA⊥AB，BC∩AB=B
所以SA⊥平面ABCD，
（2）在AD上取一點(diǎn)O，使

AO

=

1

3

AD

，連接EO
因?yàn)?span id="r8egmtq" class="MathJye">

SE

=

1

3

SD

，所以EO∥SA
因?yàn)镾A⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD，
過(guò)O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，
則AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH．
所以∠EHO為二面角E-AC-D的平面角，EO=

2

3

SA=

4

3

．
在Rt△AHO中，∠HAO=45°，HO=AO•sin45°=

2

3

×

2

2

=

2

3

∴tan∠EHO=

EO

OH

=2

2

，
即二面角E-AC-D的正切值為2

2

解法二：（1）同方法一
（2）解：如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，

2

3

，

4

3

）
∴平面ACD的法向?yàn)?span id="g4db9nf" class="MathJye">

AS

=(0，0，2)
設(shè)平面EAC的法向量為

n

=（x，y，z），

AC

=(2，2，0)，

AE

=(0，

2

3

，

4

3

)
由

n • AC =0 n • AE =0

，
所以

x+y=0 y+2z=0

，可取

x=2 y=-2 z=1

所以

n

=（2，-2，1）．
所以cos＜

n

，

AS

＞=

n • AS

| n || AS |

=

2

2×3

=

1

3

所以tan＜

n

，

AS

＞=2

2

即二面角E-AC-D的正切值為2

2

點(diǎn)評(píng)：本題以平面圖形的翻折為載體，考查空間直線與平面的位置關(guān)系：直線與平面平行及直線與平面平行的判定定理的運(yùn)用，空角角中的二面角的平面角的作法及求解，利用向量的方法求解空間距離及空間角的方法，兩法并舉，注意細(xì)細(xì)體會(huì)．