Question

【題目】已知長(zhǎng)度為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)、分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線與曲線交于兩點(diǎn)、，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為常數(shù).若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)以及此常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)，，，由，可得由，所以代入即可求得橢圓方程；
（2）由題意設(shè)直線的方程為：，，，

將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式求得則

，因此存在兩個(gè)定點(diǎn)，，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，使得與的斜率之積為常數(shù)．
試題解析：（1）設(shè)，，，

由于，所以 ，

即，所以，

又，所以，從而.

即曲線的方程為：.

（2）由題意設(shè)直線的方程為：，，，

由得：，

所以.

故 ，

，

假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，則

.

當(dāng)，且時(shí)，為常數(shù)，解得.

顯然當(dāng)時(shí)，常數(shù)為；當(dāng)時(shí)，常數(shù)為，

所以存在兩個(gè)定點(diǎn)，，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，常數(shù)為；當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，常數(shù)為.