Question

已知1≤x≤10，y＞0，且xy²=100，求（lgx）²+（lgy）²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由已知，可得y=

100 x

，進(jìn)而根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)構(gòu)造函數(shù)t=(lgx)2+(lgy)2=

5

4

(lgx)2-lgx+1，1≤x≤10，令m=lgx，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的最值．

解答：解：∵xy²=100，y＞0，
∴y=

100 x

，1≤x≤10，
所以t=(lgx)2+(lgy)2=(lgx)2+(lg

100 x

)2=

5

4

(lgx)2-lgx+1---------（4分）
令m=lgx，因?yàn)?≤x≤10所以0≤m≤1--------------------（6分）
既求0≤m≤1時t=

5

4

m2-m+1的最值
所以當(dāng)m=

2

5

，既x=10

2

5

時，t有最小值

4

5

；
當(dāng)m=1，既x=10時，t有最大值

5

4

---------------------------------（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中利用對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，及換元法，將已知轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是解答的關(guān)鍵．