Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴-3x²+6．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在曲線y=f（x）上，若該曲線在點(diǎn)P處的切線l通過坐標(biāo)原點(diǎn)，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性的方法步驟進(jìn)行求解．
（2）根據(jù)已知，只需求出f（x）在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)，即斜率，就可以求出切線方程．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=4x3-6x=4x(x+

6

2

)(x-

6

2

)
令f′（x）＞0得-

6

2

＜x＜0或x＞

6

2

；
令f′（x）＜0得x＜-

6

2

或0＜x＜

6

2

因此，f（x）在區(qū)間(-

6

2

，0)和(

6

2

，+∞)為增函數(shù)；
在區(qū)間(-∞，-

6

2

)和(0，

6

2

)為減函數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x₀，f（x₀）），
由l過原點(diǎn)知，l的方程為y=f′（x₀）x，
因此f（x₀）=f′（x₀）x₀，即x₀⁴-3x₀²+6-x₀（4x₀³-6x₀）=0，
整理得（x₀²+1）（x₀²-2）=0，解得x0=-

2

或x0=

2

．
所以的方程為y=2

2

x或y=-2

2

x

點(diǎn)評(píng)：本題比較簡(jiǎn)單，是一道綜合題，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程等函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)熟練掌握．