Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，﹣1），焦點(diǎn)在x軸上．若右焦點(diǎn)到直線(xiàn)x﹣y+2 =0的距離為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓與直線(xiàn)y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點(diǎn)M、N．當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意可設(shè)橢圓方程為 ，

則右焦點(diǎn)F（ ）由題設(shè)

解得a2=3故所求橢圓的方程為 ；

（2）解：設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，由

得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0

由于直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△＞0，即m2＜3k2+1①

∴ 從而

∴ 又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，

則 即2m=3k2+1②

把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得 解得 ．

故所求m的取范圍是（ ）．

【解析】（1）依題意可設(shè)橢圓方程為 ，由題設(shè) 解得a2=3，故所求橢圓的方程為 ．（2）設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，由 得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推導(dǎo)出m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．